对数积分与Somos序列：危险公式背后的稳定数学之美

这个Math系列写到这里，我已经聊过不少看似抽象、上手才发现特别“稳”的数学对象。第3篇我打算换一个组合：一个对数积分，一个非线性递推。前者属于分析学，背后站着素数定理；后者属于离散数学，站在Laurent现象和Somos序列的交叉口。表面上它们八竿子打不着，但我实际推导和写代码验证时，发现它们共同流露出一种气质：公式里明明写着“危险”，收敛性要打问号，整除性也完全没有保证，可结果却稳得离谱。对数积分在x=1处带着对数奇点，却成了素数分布最精准的宏观估计之一；Somos-4这类递推每一步都要做除法，分母却永远刚好整除，跑几十项下来没有一处破损。这篇就把两个主题分别讲透，顺便把我实际操作时踩过的坑、验证过的数值细节全部铺开，适合对数学推导和编程验证都感兴趣的人。

1. 对数积分到底在对谁积分：定义与那个躲不开的奇点

1.1 柯西主值：数学处理发散的标准姿势

对数积分的标准定义是

[
\operatorname{li}(x)=\int_0^x\frac{dt}{\ln t}.
]

问题马上来了：当x>1时，积分路径会经过t=1，在那一瞬间(\ln t=0)，被积函数无限增大，反常积分并不按普通意义收敛。所以需要柯西主值来处理：

[
\operatorname{li}(x)=\lim_{\varepsilon\to0^+}\left(\int_0^{1-\varepsilon}\frac{dt}{\ln t}+\int_{1+\varepsilon}^x\frac{dt}{\ln t}\right).
]

这个极限的思想可以这样理解：奇点两侧的积分一个往负无穷跑，一个往正无穷跑，而且发散速度都是对数级别，正好互相抵消，于是留下一个确定的有限值。这里有个容易让人困惑的点：主值积分的意义不是把奇点“修好”，而是规定了一种对称的取法。用微积分的语言说，我们接受“两侧分别发散”这个事实，同时通过对称截断让它们的净效应为零。这种处理方式在调和分析里很常见，你以后遇到形如(\int_{-a}^{a}1/x,dx)的积分也会用同一套路。

如果只在数值上关心结果，你可以直接用主值公式写一个数值积分程序，但我劝你不要这么做。这个问题在(t=1)附近被积函数变化太快，普通的自适应积分算法容易判断失误，你得额外复杂化代码去处理主值截断，计算效率和精度都不理想。

1.2 从 Ei(ln x) 的角度理解 li(x)

对数积分之所以研究起来方便，是因为它有一个非常漂亮的恒等式：

[
\operatorname{li}(x)=\operatorname{Ei}(\ln x).
]

其中指数积分(\operatorname{Ei}(z))的定义是

[
\operatorname{Ei}(z)=\operatorname{P.V.}\int_{-\infty}^{z}\frac{e^u}{u},du.
]

这个等式做一次换元就能推出来。令(t=e^u)，那么(dt/\ln t=e^u du/u)，积分区间从(0)到(x)被映射到从(-\infty)到(\ln x)。于是整个对数积分就变成指数积分在实数轴上的取值，奇点也从(t=1)被搬到了(u=0)。这个变换不是单纯的操作技巧，它把问题归约到一类研究得非常透彻的特殊函数上。现实中，几乎所有数学软件计算(\operatorname{li}(x))都是先算(\ln x)再调指数积分函数。

在实际工程里，我推荐直接用指数积分来算：

python复制import numpy as np
from scipy.special import expi

def li(x):
    # 只在 x 不等于 1 时调用
    return expi(np.log(x))

这行代码看起来简单，但它能处理绝大多数你需要的点值。注意这个实现没有对x=1做特殊判断，因为(x=1)时(\ln x=0)，而(\operatorname{Ei}(0))发散向负无穷。在写数值库接口时，最好单独把这个点排除掉。

1.3 渐近展开：大 x 下的快速估计与失效边界

(\operatorname{li}(x))的渐近展开是

[
\operatorname{li}(x)\sim\frac{x}{\ln x}\left(1+\frac{1}{\ln x}+\frac{2!}{(\ln x)^2}+\frac{3!}{(\ln x)^3}+\cdots\right).
]

细看这个级数，你会发现它每一项里的阶乘越来越大，最终会压倒((\ln x)^k)的幂。也就是说，这是个渐近展开，不是普通意义上的收敛级数。固定的x下，项会先下降、再上升，最好的近似点在中间的某一项附近截断。很多人第一次接触会误以为“项越多越准”，实际恰恰相反。

举一个我经常在演示里用的例子：x=10时，(\ln x\approx2.3026)，前两项给出的近似是

[
\frac{10}{2.3026}\left(1+\frac{1}{2.3026}\right)\approx4.343+1.886=6.229.
]

真值(\operatorname{li}(10)\approx6.165)，这个近似已经很接近。如果你把第三项、第四项继续加进去，值反而会冲到7.8、9.9，毫不客气地偏离真值。

这就导出一个实用规则：渐近展开适合大参数，不适合小参数。当你处理(x=10^{20})甚至(10^{100})这种量级时，(\ln x)足够大，前几项就能给出令人满意的结果；但如果你拿着这个公式去算(x=10)，就会踩坑。更可靠的通用做法是直接用(\operatorname{Ei}(\ln x))的数值实现。理解这个边界，比背下展开式本身更重要。

2. li(x) 与素数计数：为什么它比 x/ln x 更聪明

2.1 万能的启发式：素数密度 1/ln t

素数定理通常写成(\pi(x)\sim x/\ln x)，但从实际用途看，(\operatorname{li}(x))或者更常见的(\operatorname{Li}(x)=\int_2^x dt/\ln t)才是更精细的估计。核心直觉是：在t附近，整数是素数的概率大约为(1/\ln t)。这个密度不是常数，它随着t变大缓慢下降。于是从2累积到x，自然得到

[
\pi(x)\approx\int_2^x\frac{dt}{\ln t}=\operatorname{Li}(x).
]

这个启发式推导比直接背(\pi(x)\sim x/\ln x)有意义得多。(x/\ln x)其实是把密度(1/\ln t)粗暴地替换成端点处的(1/\ln x)，中间的信息全部丢掉了。而(\operatorname{Li}(x))保留了每个局部位置的密度信息，所以它对素数计数的拟合明显更好。这就像估算一整天的人流量：只看最后时刻的瞬时人流和按每小时人流积分，后者当然更可靠。

2.2 数值对比：π(x)、Li(x)、x/ln x 的真实差距

最好还是让数字说话。下面这张表是我用Python验证时常用的对比数据：

可以看到，(\operatorname{Li}(x))几乎总是压着(\pi(x))，误差在百分之几以内；而(x/\ln x)则系统性偏低，在(x=100)时低了约百分之十三。如果你想快速估算素数个数，我会建议直接用(\operatorname{Li}(x))而不是(x/\ln x)。这个结论不是新东西，但很多初学数论的读者仍习惯用(x/\ln x)做粗糙估算，其实少两步积分就能换来明显更准的数字。

使用对称数论库验证的代码可以这样写：

python复制import math
import sympy as sp
from scipy.special import expi

def Li(x):
    # 从 2 积分到 x，等价于 li(x) - li(2)
    return expi(math.log(x)) - expi(math.log(2))

for n in [100, 1000, 10000, 100000]:
    print(n, sp.primepi(n), float(Li(n)), n/math.log(n))

其中sp.primepi(n)会精确计算不超过n的素数个数。跑一次你就明白：(\operatorname{Li}(x))的偏差不是“碰巧比较小”，而是结构性地贴合。

2.3 Skewes 数与“误差变号”的漫长等待

上面那张表给你一个印象：(\operatorname{Li}(x))几乎总比(\pi(x))大一点。数学史上很长一段时间，人们都猜测(\pi(x)<\operatorname{Li}(x))对所有x都成立。这个猜想比想象中顽固，数值验证到了极大的范围都没有找到反例。结果到了1933年，Skewes证明了：如果黎曼假设成立，那么存在某个x，使得(\pi(x)>\operatorname{Li}(x))，也就是误差符号反转，而且这个反例发生的位置比当时所有人预期的都大得多，大约在(10^{10^{10^{34}}})这个量级以下。

我提这个例子的目的，不是让你追求复现那个巨大的反例，而是想说明一个方法论层面的教训：数值遍历能给你很强的心理暗示，但你观察不到的东西不等于不存在。(\operatorname{Li}(x))和(\pi(x))的偏差问题，是“数值实验会骗人”的经典案例。我们在做计算验证时，应该区分“数值上没发现反例”和“证明了结论成立”。这也是为什么数论里那么多工具，严谨证明仍然不可替代。对数积分本身没有错，它是素数分布最可靠的宏观标尺之一；容易出问题的是我们对它的直觉。