P2G与碳捕集综合能源系统双目标优化：epsilon约束法复现详解

“这篇打算怎么复现？”这几天后台收到交流，问的是Energy期刊上一篇关于P2G（电转气）和碳捕集设备的热电联供综合能源系统运行优化，还加了epsilon算法去解碳排放成本和运维成本的双目标问题。这个标题长，信息量也大，但核心其实就三件事：模型怎么建、P2G和碳捕集怎么进约束、双目标怎么用epsilon约束法解出帕累托前沿。我前前后后也折腾过类似的算例，今天把整个思路、模型、代码细节和踩过的坑一次性讲清楚，希望能给复现或者做毕设、论文方向的同学一些参考。

先说清楚这个问题的实际意义。综合能源系统里，电、热、气耦合在一起，传统做法是直接优化总成本。现在多了碳捕集和P2G之后，碳排放成本和日常运维成本之间存在一个明显的博弈：低碳方案往往要求碳捕集装置多运行、P2G多消纳新能源，但这些设备本身要耗能、要维护，运维成本就上去了。如果只把碳成本折算成一个价格系数塞进单目标，决策者看不到中间的权衡关系。把两个目标分别拿出来，用epsilon约束法扫描出一个帕累托前沿，才是更合理的做法。下面从模型搭建开始，逐步展开。

1. 先把系统结构和能量流动理清楚

1.1 这个综合能源系统到底包含哪些设备

复现这类问题时，第一步不是写代码，而是把系统的物理拓扑画明白。我们处理的这个系统，典型配置包括CHP机组（热电联产）、燃气锅炉、风电、光伏、P2G装置、碳捕集设备、电储能、热储能、气储能，以及外部电网和天然气网的交互接口。如果从能量角度看，系统有三个核心网络：电力网络、热力网络、天然气网络，再加上一条专门描述CO2流动的碳网络。

我习惯先把能量流向写成一个清单：

• 电：风电、光伏、CHP电出力、电网购电会流入电母线；电负荷、P2G耗电、碳捕集耗电、储电充电、电锅炉（如果有）从电母线取电。
• 热：CHP热出力、燃气锅炉热出力、储热放热、P2G余热回收（如果计入）流入热母线；热负荷和储热充电从热母线取热。
• 气：天然气网供应、P2G产气、储气放气流入气母线；CHP燃气需求、锅炉燃气需求、气负荷从气母线取气。
• 碳：CHP和锅炉燃烧产生的CO2进入碳流，一部分被碳捕集设备捕集，捕集下来的CO2一部分供给P2G甲烷化反应，另一部分可以存储或外售；未被捕集的部分才是净排放。

这里面最容易忽视的就是气平衡和碳平衡。很多刚开始接触P2G的同学只记得“P2G用电产气”，却忘了产出的天然气要去替代谁、P2G甲烷化反应还需要CO2作为原料。所以我把P2G和碳捕集设计成“一对耦合装置”，逻辑就是：碳捕集从排放源捕CO2，P2G消耗CO2和氢气产出CH4，天然气再回供给CHP或气负荷，这样形成一个电-气-碳的闭环。这个闭环是模型里最有价值的部分，也是和普通CHP系统优化最本质的区别。

1.2 复现论文时的模型假设要提前定好

论文里写得很简略的假设，往往是复现时最容易卡住的地方。我在写模型之前就会把假设全部列成清单，尤其是以下几个：

第一，系统采用确定性优化还是考虑不确定性。原论文如果没考虑风光预测误差，复现时可以先做确定性模型，后续再扩展鲁棒或随机优化。第二，CHP机组是定热电比还是灵活热电比。定热电比模型简单，h = R × p，灵活热电比则是一个凸多边形可行域，代码复杂度明显增加。第三，P2G是全部产出氢气还是经过甲烷化产出天然气。如果产出天然气，就必须有CO2供应约束，这正好和碳捕集设备耦合。第四，碳捕集能耗是固定值还是随捕集量线性变化。通常取线性模型就很稳定。

这些假设决定了约束方程的形式。我建议刚开始复现时全部选简单形式：定热电比、P2G走完整甲烷化路线、碳捕集能耗线性化。先把模型跑通，再逐步放开假设。这样调试的时候，至少能确定问题出在数学建模还是代码实现上。

2. 数学模型搭建：目标函数和约束条件的核心细节

2.1 双目标函数的定义和常见转化方式

原始论文往往是单目标，也就是总成本最小化，里面包含购能成本、运维成本、碳排放成本等。现在改成双目标，我的处理方法是把原目标拆开：

第一个目标是运维成本F1，主要包括：

• 从电网购电的费用，售电时则减去收入
• 购入天然气的费用
• 各设备的运行维护成本，通常按出力乘单位运维系数计算
• 弃风弃光惩罚，用来避免模型为了省钱而不使用新能源
• 如果涉及机组启停，还要加启停成本

第二个目标是碳排放成本F2。这里有两种口径。一种直接是系统净碳排放总量乘以碳价，简单直接；另一种是碳交易口径，净碳排放量先减去免费配额，差额再乘以碳价，这会在源头上影响约束形式。论文标题里写的是“碳排放成本”，我复现时一般用碳价乘以净排放量的方式，因为这样线性关系最清晰，也方便后续epsilon算法把F2作为约束边界。净排放量的计算是：源排放总量减去碳捕集量，再考虑P2G对CO2的消耗。这里要明确，如果捕集下来的CO2供给了P2G，就不能算作“封存减排”，必须从捕集量里扣除。正确的关系是：

净碳排放 = 总燃烧排放 - 碳捕集量 + 其他环节排放（比如外购电力对应的间接排放）

P2G消耗的CO2来自碳捕集装置，这部分CO2最终以CH4形式又被烧掉，所以它只是一个“内部循环”，不是净减排。但它的意义在于替代了一部分外购天然气，所以经济性上是有价值的。

这样，双目标问题写出来就是：

min F1(x) （运维成本）
min F2(x) （碳排放成本）

这是典型的多目标优化，二者存在冲突。求解思路不是找唯一最优解，而是找一组帕累托最优解。

2.2 功率平衡约束：电、热、气、碳四个平衡缺一不可

先说电力平衡。这个表达式是所有约束里最容易出错的地方，因为P2G和碳捕集都是“电负荷”。我用的形式是：

P_CHP(t) + P_WT(t) + P_PV(t) + P_grid_buy(t) + P_ES_discharge(t)
= P_ele_load(t) + P_P2G(t) + P_CCS(t) + P_ES_charge(t) + P_grid_sell(t)

这里P_CCS就是碳捕集设备的耗电功率，它是捕集量和单位能耗系数的乘积。特别注意，如果系统里有电锅炉，还要加一项；电力平衡右边所有耗电设备都要写全，否则能量不守恒。

热力平衡相对简单：

H_CHP(t) + H_GB(t) + H_HS_discharge(t) + H_P2G_recover(t)
= H_load(t) + H_HS_charge(t)

如果计入了P2G余热回收，要注意余热量等于P2G输入电功率乘以一个余热回收系数，这部分热量在冬季是很可观的，会让P2G在热负荷高时的经济性明显变好。

天然气平衡是最容易漏项的地方：

G_grid(t) + G_P2G(t) + G_GS_discharge(t)
= G_load(t) + G_GS_charge(t) + G_CHP(t) + G_GB(t)

这里G_CHP和G_GB分别表示CHP和锅炉的燃气消耗量。G_P2G是电转气设备产出的天然气流量，单位要做统一，建议转换成MWh基准。在气平衡里，P2G产气是供应侧，而不是需求侧，很多初写模型的人容易把它写到右边去。

碳平衡单独说一下。设定CHP和锅炉分别有烟气排放口，烟气中的CO2流量正比于机组出力。碳捕集设备从烟气里捕集CO2：

C_capture(t) = η_CCS × C_flue(t)

然后捕集下来的CO2有三条去向：供给P2G、存储/外售、以及可能存在的泄漏损耗。所以有：

C_capture(t) = C_P2G(t) + C_storage(t)

而系统净排放为：

C_net(t) = C_flue(t) - C_capture(t) + C_grid_indirect(t)

C_grid_indirect是外购电力对应的间接排放，可以按电网平均排放因子折算。如果没有外购电，这一项就是零。

2.3 P2G、碳捕集的建模参数和耦合方程

P2G的建模核心是两个效率：电解效率η_elec和甲烷化效率η_meth。总电转气效率η_P2G = η_elec × η_meth，实际文献中取值一般在0.5到0.65之间，我算例里取0.58。P2G产气量：

G_P2G(t) = η_P2G × P_P2G(t)

单位是MWh/h，如果后续要换算成天然气体积，再除以天然气热值约0.00997 MWh/m3。

P2G的CO2消耗量按化学计量关系走，实际工程中会略高于理论值。我经常用简化系数：

C_P2G(t) = α_CO2 × G_P2G(t)

α_CO2一般取0.4到0.5 tCO2/MWh产气量。这个系数决定了P2G对碳捕集设备的依赖程度，也影响系统在“要不要让碳捕集多耗能”上的决策。

碳捕集设备的模型分成两部分：捕集量和能耗。捕集量是：

C_capture(t) = η_CCS × C_flue(t)

η_CCS是捕集率，可以设为0.6到0.9之间的固定值，也可以作为连续决策变量在上下限内取值。固定捕集率模型更简单，后期如果做灵敏度分析，可以扫描不同η_CCS看帕累托前沿怎么移动。

碳捕集能耗是很多复现者的盲区。我使用的线性模型：

W_CCS(t) = λ_CCS × C_capture(t)

λ_CCS单位是MWh/tCO2，文献里0.1到0.4都有，我一般取0.18到0.2。有了这个表达式，电平衡里就会出现P_CCS(t) = W_CCS(t)。注意，这个能耗如果是热能耗，就要加在热平衡里；如果是电能耗，加在电平衡里。有些论文把碳捕集能耗分成电和热两部分，复现时要看清原文假设。

CHP机组的建模我推荐用简化的线性模型，在定热电比模式下：

H_CHP(t) = R_CHP × P_CHP(t)

同时加上出力上下限和爬坡约束：

P_CHP_min ≤ P_CHP(t) ≤ P_CHP_max
-P_CHP_ramp ≤ P_CHP(t) - P_CHP(t-1) ≤ P_CHP_ramp

如果后续想扩展灵活热电比，可以把H_CHP和P_CHP的可行域写成凸包约束，代码上用顶点组合表示。不过第一次复现不建议直接上，因为约束矩阵出错后很难排查。

2.4 碳排放约束和epsilon算法需要的“约束化”准备

在epsilon算法里，F2 ≤ epsilon会作为一个额外的耦合约束加进模型，所以F2必须是决策变量的线性表达式，这一点碳排放成本天然满足。但我要提醒一个细节：epsilon的取值区间必须覆盖F2的可行范围，否则会出现大量无解点。为了得到这个范围，需要先做两个预优化：

第一步，单独最小化F1，记录F1的最优值F1_min，并记录在该最优解下F2的取值F2_at_F1min。第二步，单独最小化F2，记录F2的最优值F2_min，并记录该解下F1的取值F1_at_F2min。

这样就能得到支付矩阵（payoff table）：

epsilon的扫描上界取max(F2_at_F1min, F2_min)，下界取min(F2_at_F1min, F2_min)，或者更保险一点，下界取F2_min - 一个微小量，上界取F2_at_F1min + 一个微小量。注意，因为F1最优解未必唯一，F2_at_F1min的取值会受到求解器返回解的影响，建议在这步用“lexicographic optimization”的思路：先求F1最小，再把F1≤F1_min+容差作为一个约束，重新最小化F2，这样能拿到F1最优时F2更小的边界点。

3. epsilon约束法的原理和实现要点

3.1 为什么不用加权法，而要用epsilon约束法

多目标优化最简单的做法是线性加权，但加权法的缺陷在综合能源系统这种MILP模型里很致命。MILP的可行域不是凸集，加权法只能找到帕累托前沿上“支撑”的点，也就是凸包上的点，非支撑解永远找不到。换句话说，你无论怎么扫权重，都会漏掉一些帕累托最优的方案。而epsilon约束法是直接把其中一个目标转成约束，对目标空间的形状没有凸性要求，能更完整地生成前沿。

从实际操作角度，加权法还有一个问题：两个目标量纲不同、数值范围差异大。F1运维成本的量级可能是几十万，F2碳排放成本的量级可能是几千，权重稍调一点，结果就偏向量级大的那个目标。如果做归一化处理，还需要额外设计缩放因子，而epsilon约束法不需要考虑这个。

3.2 epsilon约束算法的完整流程

我把算法写成适合在Matlab里实现的步骤：

1. 构建基础约束Constraints_base，包含所有物理平衡、设备上下限、爬坡、储能等约束，以及决策变量定义。
2. 做两个单目标预优化，得到F1_min、F2_min、F2_at_F1min。这一步用两次optimize调用即可。
3. 生成epsilon网格。我常用的做法：

N = 30;
eps_grid = linspace(F2_min, F2_at_F1min, N);

网格点数太多会导致总求解时间成倍增加，太少则前沿不够平滑。我试过N=20到40之间比较合适。如果算例规模大，建议用稀疏网格先跑一遍，再对转折区域加密。

4. 对每个epsilon值，构建完整约束：

Constraints = [Constraints_base, F2_expr <= eps_grid(i)];

然后调用求解器最小化F1。
5. 记录每个epsilon下的F1和F2值，如果求解器返回不可行，就跳过这个点。等所有点跑完后，剔除被支配的点，剩下的就是帕累托前沿。
6. 用模糊隶属度函数或者TOPSIS选一个折中最优解。

这个流程的核心思想很简单：把F2的“上限”作为一把尺子，从松到紧逐渐收紧，观察F1如何变化。每收紧一次，就得到一个经济性和低碳性的权衡点。

3.3 模糊隶属度函数选折中解

帕累托前沿画出来之后，怎么告诉别人“我推荐哪个方案”？我会用模糊隶属度函数，因为实现简单、可视化友好。对每个帕累托点计算两个目标各自的满意度：

μ1 = (F1_max - F1) / (F1_max - F1_min)
μ2 = (F2_max - F2) / (F2_max - F2_min)

注意这里的max和min都是在帕累托前沿集合内统计的，不是所有求解点的原始范围。每个点的综合满意度取均值：

μ = (μ1 + μ2) / 2

μ最大的点就是兼顾两个目标的折中解。实际跑出来的结果一般是碳捕集率较高但并没有拉满、P2G在特定时段运行较充分的方案。如果原论文画了“帕累托前沿上标注了Best compromise”的图，多半就是用类似方法选的。

4. Matlab代码实现：从建模到跑出帕累托前沿

4.1 工具选型：Yalmip + 求解器的组合

复现这类MILP问题，我强烈建议用Yalmip建模，然后再接一个高性能求解器。Yalmip的意义在于把约束和目标表达得和论文公式几乎一一对应，减少建模错误。求解器方面，如果有学术许可证，CPLEX和Gurobi都可以；如果没有，Matlab自带的intlinprog也能跑小规模算例，但求解时间会明显增加。

我个人建议第一次跑通模型时先用intlinprog，把算例规模缩小，比如只跑24小时、设备数量精简，确认逻辑无误后再切换到Gurobi或者CPLEX跑完整算例。Yalmip的好处是求解器切换只需要改一行sdpsettings，不用改业务代码。

4.2 变量定义和核心代码骨架

变量定义部分，我习惯用sdpvar定义连续变量，用binvar定义0-1变量。24小时调度问题中，每个变量都是1×24的向量。以CHP的电出力为例：

matlab复制P_chp = sdpvar(1, 24);
H_chp = sdpvar(1, 24);

储能电量状态变量用sdpvar，充放电状态的0-1变量用binvar。为了减少整数变量数量，可以只用连续变量+约束限制不同时充放电，但那样需要引入大M约束，也躲不开二进制变量。我的经验是：先把整数变量数量压到最少，因为MILP求解时间对整数变量数量非常敏感。

约束构建方面，比如电力平衡写出来就是：

matlab复制Constraints = [Constraints, P_chp + P_wt + P_pv + P_grid_buy + P_es_dis ...
               == P_load + P_p2g + P_ccs + P_es_ch + P_grid_sell];

4.3 epsilon算法主循环的实现

这是整个代码最核心的循环。我先把两个目标表达式F1_cost和F2_carbon都构建好，然后做预优化。下面是一个可以直接改的骨架：

matlab复制% 第一步：单目标预优化，确定epsilon范围
opts = sdpsettings('solver', 'gurobi', 'verbose', 0);
optimize(Constraints_base, F2_carbon, opts);
F2_min = value(F2_carbon);

% 在保证F1最优的前提下，最小化F2，得到更准确的界
optimize(Constraints_base, F1_cost, opts);
F1_opt = value(F1_cost);
Constraints_temp = [Constraints_base, F1_cost <= F1_opt * 1.001];
optimize(Constraints_temp, F2_carbon, opts);
F2_at_F1opt = value(F2_carbon);

% 第二步：epsilon扫描
N = 30;
eps_grid = linspace(F2_min, F2_at_F1opt, N);
PF = [];
for i = 1:N
    Constraints = [Constraints_base, F2_carbon <= eps_grid(i)];
    optimize(Constraints, F1_cost, opts);
    if output.problem == 0
        f1 = value(F1_cost);
        f2 = value(F2_carbon);
        PF = [PF; f1, f2];
    end
end

注意几个细节。第一，F2_min和F2_at_F1opt如果太接近，直接linspace可能会导致大部分点挤在一个小范围内，前沿不够展开。这种情况下可以给上界乘一个1.02的系数。第二，循环里用output.problem判断求解状态，不要只看返回的数值，否则不可行解可能会被误判成有效解。第三，epsilon从紧到松和从松到紧跑出来的前沿理论上一致，但计算资源允许时，可以在前沿拐点附近局部加密，让曲线更光滑。

4.4 结果可视化和论文图复现

跑完求解后，最核心的图有两个：帕累托前沿图和最优折中解对应的调度计划图。

帕累托前沿图很直接，F1做横轴、F2做纵轴，把PF里的点画成带标记的折线或者散点。如果你用30个网格点，最终画出来的前沿可能会有一些点重叠或非常接近，说明网格在这个区域太密；如果某些区间缺乏点，说明这个区域可行域本身比较窄。这是正常现象，不用强行平滑。

调度计划图我通常用堆叠面积图，分别展示电功率平衡和热功率平衡。比如电的堆叠图里，正方向放CHP电出力、风电、光伏、电网购电、储电放电，负方向放负荷、P2G耗电、碳捕集耗电、储电充电。这样一眼能看出“什么时候P2G在运行”“什么时候碳捕集在耗电”。跑完epsilon循环后，从折中解提取对应时段的变量值，就可以画图。代码思路：

matlab复制[~, idx] = max(mu);  % 折中解索引
optimize([Constraints_base, F2_carbon <= eps_grid(idx)], F1_cost, opts);
P_chp_opt = value(P_chp);
P_p2g_opt = value(P_p2g);

注意，不要把epsilon网格索引对应的点直接当成最优解，因为要在同一个epsilon下重新求一次以拿到完整的变量值，虽然理论上与循环内记录一致，但重新求解能避免存储字段遗漏。

5. 复现过程中遇到的典型问题和排查经验

5.1 模型怎么调都不收敛或者无解

这个是最常见的坑。如果你在某个epsilon下得到“infeasible”，不要急着调求解参数，要先确认两条：第一，这个epsilon是否低于F2的理论最小值。如果eps_grid里有一部分点小于预优化得到的F2_min，那就必然无解，直接跳过即可。第二，基础约束本身是否存在冗余冲突，比如某个设备的出力上下限、爬坡约束和能量平衡约束组合起来无解。排查方法很简单，先跑一次不带epsilon约束的单目标F1优化，如果这个都能算出解，说明基础约束没问题；如果这个也算不出，问题一定在基础约束里。

我自己遇到过一次很隐蔽的问题：储电设备的SOC约束写成了SOC(t) = SOC(t-1) + eta_ch * P_ch - P_dis / eta_dis，但初值SOC(0)没有设置，或者其他设备约束里漏了一项负荷，导致整体无解。后来我用“逐步加约束”的方法定位：先从纯平衡约束开始，能解；再加设备上下限，能解；再加储能约束，崩了。这样一步步能快速定位到具体是哪组约束的问题。

5.2 求解时间过长，网格点又多，怎么处理

MILP问题的求解时间永远是个绕不开的话题。我第一次在完整系统里跑N=40个网格点时，Gurobi每个点要3分钟左右，总共跑了一个多小时。后来总结了几条减少时间的经验：一是尽量减少二进制变量，比如储能充电状态变量如果不影响目标，可以去掉，只保留SOC和充放电功率；二是给求解器设置合理的时间上限和MIP gap，比如设置sdpsettings('gurobi.TimeLimit', 60)和'MIPGap', 0.01，这样每个点最多60秒就能返回一个接近最优的解；三是把epsilon网格数降到20，先看整体趋势，再对感兴趣的区间做5到10点的二次扫描。

另外，如果模型是纯线性且没有0-1变量，CPLEX/Gurobi求解非常快；一旦引入启停变量，模型就是真正的MILP。所以在复现之前看一下原文有没有考虑机组启停状态，如果有，就要做好求解时间上升的心理准备。

5.3 帕累托前沿出现“大缺口”或者形状怪异

有时候你会得到前沿在前半段很平缓、后半段突然陡降，甚至出现“回折”的现象。在我的经验里，回折通常不是算法问题，而是模型或记录方式的问题。比如循环里记录了某些非支配解但实际上那几个点并没有真正满足F2 ≤ eps_grid(i)，可能是因为求解器返回了不可行但数值上看起来可行，把输出.problem的判断加上就好。另一个常见原因是epsilon网格的生成方式，如果直接linspace(F2_min, F2_at_F1opt)，而且F2_at_F1opt明显小于F1最优时的F2值域，就可能会出现前沿数据不完整。更稳妥的方式是用自适应网格：先稀疏扫描，然后对相邻点变化率大的区间插值加密，这样能避免前沿形状失真。

5.4 代码结果和原论文数值对不上怎么办

这里我要说一句实在话：完全复现出和Energy原论文一模一样的数值结果，难度极高，因为论文通常不公布完整参数和负荷数据。你能做的，是让“趋势”和“现象”对上。同样构造的系统，帕累托前沿的走向、折中解下P2G利用率和碳捕集率的变化，应该和原文定性一致。如果连定性趋势都对不上，优先检查几个参数：CHP热电比、P2G总效率、碳捕集能耗系数、碳价和天然气价格。这些参数直接决定碳捕集和P2G的经济性。比如碳价设定太高，模型会不惜一切代价开启碳捕集，前沿向左移动；碳价太低，P2G可能几乎没有运行价值，前沿变得很平。

我建议在复现时做一个简单的敏感性分析：把碳价从20元/t扫到80元/t，看折中解中P2G的发电小时数怎么变化。这个分析不只是为了对论文，也是理解模型机理的好方法。

5.5 常见问题速查

5.6 调试时最值得养成的习惯

还有一个经验很实用：对单目标优化结果先做“合理性检查”，再跑双目标。我的检查顺序是：先只优化F1，画出各设备出力曲线，看CHP是不是在电价高峰多发、低谷少发，锅炉是不是跟着热负荷走，P2G和碳捕集有没有异常出力。再只优化F2，看系统是不是尽量用新能源、碳捕集是不是拉满、P2G是不是在CO2供给充足时运行。如果这两个极端场景的行为都不符合物理直觉，双目标跑出来必然有问题。

比如说，F1单目标优化结果里如果P2G一点都不动，但在你的参数设置下P2G明明能在低谷电价时产气赚钱，那就说明目标函数或约束里有错误，而不是P2G本身不需要。先让这两个极端场景合理，再跑epsilon循环，能省掉大量排查时间。

我个人跑完这个复现的最大感受是，epsilon算法本身不难，难的是把P2G和碳捕集这两个装置“接”进整个能源系统的约束网络。只要碳平衡、气平衡和电平衡写对了，epsilon算法只是一个循环加一个约束的事。建议你拿到一段代码后，先别急着跑完整算例，找一个只有24个时段、设备不超过6个的小规模系统，把模型一行行读懂，再逐步放大。这样遇到问题能快速定位，也不容易陷入“跑了很久结果却不可用”的尴尬。最后再分享一个实用小技巧：跑epsilon循环前，把基础模型单独存成MAT文件，循环里每次加载并拼接新约束，比在循环外保留一个巨大的base constraint对象要清爽，也方便断点续跑。