华为机试HJ146谐距下标对：从暴力枚举到调和级数优化

刷到华为机试 HJ146“谐距下标对”的时候，我盯着题目名看了好一会儿。谐距是什么距离？下标对为什么还要专起一个名词？等我真正把题面读明白，把条件翻译成数学公式之后，才意识到这题最值钱的不是最后的 AC 代码，而是那个从“枚举元素”转向“枚举参数”的思维切换。

这篇文章我不打算只扔一份能过的代码，而是把中间每一步关键推导都掰开讲清楚：谐距的数学本质是什么、暴力做法为什么必然炸掉、正解为什么用两层看似朴素的循环就能把几亿次枚举压到千万级，以及我在实际提交和自测过程中踩过的几个坑。不管你是准备机试，还是在做一些 gcd 相关的计数题，顺着这个思路走一遍，基本就能独立写出这道题。

1. 先拆题：谐距下标对的数学定义

1.1 题干里的谐距到底指什么

原题描述比较绕，我用大白话转述一下。给定一个长度为 n 的正整数数组 a，对于任意下标对 (i, j)（i < j），我们先求出两个数的最大公约数 g = gcd(a[i], a[j])，然后把两个数同时除以 g，得到两个互质的数 p 和 q。如果这两个互质数相差 1，也就是 |p - q| = 1，那么这一对下标就叫做“谐距下标对”。题目要求统计整个数组里满足条件的下标对总数。

举个例子会直观很多。2 和 3，gcd 是 1，除掉之后还是 2 和 3，相差 1，所以它俩是一对。18 和 20，gcd 是 2，除掉之后是 9 和 10，也相差 1，同样是一对。6 和 8，gcd 是 2，除掉之后是 3 和 4，相差 1，这也是一对。反过来看 12 和 20，gcd 是 4，除掉之后是 3 和 5，差为 2，这就不是谐距下标对。

我第一次读完这个定义，脑子里冒出来的问题只有一个：这玩意儿凭什么能快速统计？如果按定义直接算 gcd，那不是 O(n²) 起步吗？事实确实如此，但关键并不在 gcd 本身，而在于这个定义可以继续往下化简。

1.2 等价变形：连续且互质

设两个数为 x 和 y，最大公约数是 g。我们把它们写成：

x = g * p
y = g * q

其中 p 和 q 一定互质，因为公共因子已经被 g 全部提走了。现在题目要求 |p - q| = 1，那说明 p 和 q 其实是两个相邻整数。假设较小的那个是 t，另一个就是 t + 1。于是：

x = g * t
y = g * (t + 1)

这个形式太关键了。它意味着，所有谐距下标对本质上就是“共享同一个因子 g，同时各自除掉 g 之后，剩下的是相邻两个整数”的一对数。由于相邻整数一定互质，所以 g 恰好就是 x 和 y 的最大公约数，反过来只要两个数能写成 gt 和 g(t+1)，它们就一定满足谐距条件，不需要再多做一次 gcd 验证。

把条件整个反推回去，还能得到一个更紧凑的等价式：

gcd(x, y) == |x - y|

也就是说，两个数的最大公约数等于它们的差。验证一下 18 和 20：gcd 是 2，差也是 2，成立。再看 9 和 18：gcd 是 9，差也是 9，成立。这个简洁形式也终于解释了“谐距”这个名字：距离（差值）恰好等于公因数，某种程度上就是一种整除关系上的“和谐”。我对名字来源没有官方考据，但按这个式子去记，保证之后不会忘。

2. 暴力思路为什么会撞墙

2.1 按下标对硬算的复杂度账

很多人拿到题的第一反应就是两层循环，枚举所有 i < j，然后每组都调用一次 gcd 检查。这个方法在 n 很小的时候没有任何问题，但机试里的 n 通常给到 2×10^5。这个时候下标对总数大约有：

n * (n - 1) / 2 ≈ 2×10^10

也就是两百亿对。就算一次 gcd 只做几十次整数运算，总操作量也到千亿级别了。OJ 的时间限制通常是两三秒，这个量级想都不用想，一定超时。我甚至不建议去尝试优化 gcd 的常数，因为在 n 上翻车的问题，常数优化救不回来。

这还只是按“下标对”枚举。如果你天真地想，数组里不同值可能没那么多，我可不可以按“值对”枚举？同样不行。

2.2 按值域硬算也不靠谱

假设值域最大值是 V。最坏情况下 V 也是 10^6，把所有值对都看一遍，数量级是 V^2 / 2，也就是 5×10^11，比刚才还离谱。就算数组去重后只剩 2×10^5 个不同的值，值对数量依然是约 2×10^10，还是致命。

所以问题的本质不是枚举对象选得不好，而是我们用