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最小二乘法推导：从代数基础到线性回归实现

霜之暗伤·2026-06-04·阅读 46 GEO检测（免费）
最小二乘法线性回归机器学习基础
|难度：普通|阅读约 9 分钟

1. 项目背景与核心价值

作为一名从传统运维转型数据科学的实践者，我深刻理解数学基础对机器学习的重要性。最小二乘法作为线性回归的基石算法，其背后严谨的数学推导过程常常让许多跨领域学习者望而生畏。本文将从运维工程师的视角出发，用最朴素的代数工具完整推导最小二乘法的数学原理。

这个推导过程特别适合以下人群：

  • 需要快速理解机器学习数学基础的运维/开发人员
  • 对公式推导有"心理障碍"的转行学习者
  • 希望掌握算法本质而不仅停留在调包的数据从业者

我们将完全通过初中级别的代数知识完成推导，不需要任何高等数学基础。最终你会惊讶地发现，所谓"机器学习算法"的数学本质竟然如此简洁优美。

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2. 问题建模与数学准备

2.1 线性回归的基本形式

假设我们有n组观测数据(x₁,y₁), (x₂,y₂)...(xₙ,yₙ)，需要找到最佳拟合直线 y = ax + b。这里的"最佳"标准是：所有数据点到直线的垂直距离（残差）的平方和最小。

用数学表达式表示就是：

code复制S = Σ(yᵢ - axᵢ - b)² → 最小

其中S称为残差平方和(Sum of Squared Residuals)

2.2 关键推导思路

要使S最小化，我们需要：

  1. 将S表示为关于参数a和b的函数
  2. 分别对a和b求偏导
  3. 令偏导数等于0，建立方程组
  4. 解这个方程组得到a和b的最优解

注意：虽然使用了"偏导"这个术语，但实际推导过程完全可以只用基础的代数知识完成，下文会具体展示。

3. 完整数学推导过程

3.1 展开残差平方和

首先展开S的表达式：

code复制S = Σ(yᵢ - axᵢ - b)²  
  = Σ(yᵢ² + a²xᵢ² + b² - 2axᵢyᵢ - 2byᵢ + 2abxᵢ)

为简化表示，我们引入以下符号：

  • Σx = x₁ + x₂ + ... + xₙ
  • Σy = y₁ + y₂ + ... + yₙ
  • Σxy = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + xₙyₙ
  • Σx² = x₁² + x₂² + ... + xₙ²
  • n表示数据点数量

于是S可简化为：

code复制S = Σy² + a²Σx² + nb² - 2aΣxy - 2bΣy + 2abΣx

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