二分查找算法详解：原理、实现与LeetCode实战

1. 二分算法基础与核心思想

二分查找（Binary Search）作为计算机科学中最经典的算法之一，其核心思想是"分而治之"。我第一次接触二分是在大学数据结构课上，当时教授用"猜数字游戏"的类比让我们理解：假设你需要在1-100之间猜一个预设的数字，每次猜测后会被提示"大了"或"小了"，最优策略就是从中间值50开始猜，这样每次都能排除一半的可能性。

在实际编码中，二分算法通常应用于有序数据集合的查找场景。它的时间复杂度是O(log n)，相比线性查找的O(n)有质的飞跃。举个例子，在一个包含100万个元素的有序数组中查找特定值，线性查找最坏需要100万次比较，而二分查找最多只需20次（因为2^20 ≈ 100万）。

关键理解：二分法的本质是通过每次迭代将问题规模减半，这种指数级的缩减速度是其高效的核心原因。

1.1 标准二分查找实现

让我们用Python实现最基础的二分查找：

python复制def binary_search(nums, target):
    left, right = 0, len(nums) - 1
    while left <= right:
        mid = left + (right - left) // 2  # 避免溢出
        if nums[mid] == target:
            return mid
        elif nums[mid] < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return -1

这段代码有几个关键点需要注意：

1. 循环条件是left <= right而不是<，这决定了搜索区间是闭区间[left, right]
2. mid = left + (right - left) // 2的写法是为了防止大数相加导致的整数溢出
3. 每次比较后，我们都能排除掉一半的搜索空间

1.2 二分法的变体与应用场景

在实际问题中，纯粹的二分查找可能需要进行各种变体调整。常见的变体包括：

1. 查找第一个/最后一个等于目标值的位置
2. 查找第一个大于/小于目标值的位置
3. 在旋转有序数组中查找目标值
4. 在无限数据流中查找目标值

每种变体都需要对标准二分进行微调。例如，查找第一个等于目标值的位置时，当nums[mid] == target时不能直接返回，而需要继续向左搜索：

python复制def first_occurrence(nums, target):
    left, right = 0, len(nums) - 1
    res = -1
    while left <= right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if nums[mid] >= target:
            right = mid - 1
            if nums[mid] == target:
                res = mid
        else:
            left = mid + 1
    return res

2. 二分题单精选与