二分查找算法解决排列硬币问题

1. 问题理解与数学建模

这道排列硬币的问题看似简单，却蕴含着典型的算法思维转换。我们先来彻底理解题目要求：给定n枚硬币，需要将它们排列成阶梯形状，其中第k行必须恰好有k枚硬币。我们的目标是找出能够形成的完整阶梯行的最大行数k。

举个例子，当n=5时：

• 第1行：1枚（累计1枚）
• 第2行：2枚（累计3枚）
• 第3行：需要3枚（但剩余只有2枚，无法完成）

因此最大完整行数是2。这个例子清晰地展示了问题的本质：我们需要找到一个最大的整数k，使得前k个自然数之和不超过n。

数学上，前k个自然数之和可以用公式表示：
sum(k) = 1 + 2 + ... + k = k×(k+1)/2

所以问题转化为：在给定n的情况下，求最大的整数k满足k×(k+1)/2 ≤ n。

注意：这里的关键是理解题目要求的是"完整"的行数。即使剩余硬币还能排部分行，只要不完整就不计入结果。

2. 二分查找算法设计

2.1 为什么选择二分查找

面对这个问题，初学者可能会想到暴力解法：从k=1开始逐个尝试，直到sum(k)超过n。这种方法虽然简单，但时间复杂度是O(n)，当n很大时（比如2^31-1）效率极低。

而二分查找可以将时间复杂度降低到O(log n)，因为它每次都将搜索范围减半。由于k的可能取值范围是1到n（有序区间），且我们需要找最大的k满足sum(k)≤n，这正符合二分查找的应用场景。

2.2 二分查找的具体实现

我们需要明确几个关键点：

1. 搜索范围：left=1，right=n
2. 中间值计算：mid = left + (right - left)/2
3. 判断条件：sum(mid) = mid×(mid+1)/2与n的比较
4. 边界调整：
   • 如果sum(mid)≤n：说明mid可行，尝试更大的k（left=mid+1）
   • 如果sum(mid)>n：说明mid太大，尝试更小的k（right=mid-1）
5. 结果记录：在sum(mid)≤n时，记录当前的mid为候选结果

2.3 边界条件与溢出处理

这是容易出错的地方：

1. 当n=1时，k=1
2. 当n=0时，k=0（虽然题目中n应该是正整数）
3. 大数溢出：当n接近2^31-1时，mid×(mid+1)可能超过int范围，必