动态规划解决货币系统最小化问题

1. 题目背景与核心需求

P5020 [NOIP 2018 提高组] 货币系统是一道经典的动态规划问题，考察选手对完全背包问题的理解和应用能力。题目给定一个货币系统（n种面值的货币），要求我们找到一个等价的货币系统m，使得m的系统能够表示的所有金额与原始系统完全相同，且m尽可能小（即货币种类数最少）。

这个问题的实际意义在于货币系统的优化设计。比如现实中我们使用的硬币有1元、5元、10元等面值，这样的设计就是为了用最少数量的硬币种类满足日常交易需求。题目正是对这一现实问题的抽象和建模。

2. 问题分析与解题思路

2.1 问题转化与数学建模

首先我们需要明确几个关键概念：

1. 货币系统的"表示能力"：一个货币系统能表示的所有非负整数金额的集合
2. 货币系统的"等价"：两个货币系统能表示的金额集合完全相同
3. 货币系统的"最小化"：在所有等价的货币系统中，选择货币种类最少的那个

通过分析可以发现，题目要求的就是找出原始货币系统的"基"——即那些不能被系统中其他货币线性组合表示的面值。这些面值必须保留，而其他面值则可以去除。

2.2 算法选择与优化

这个问题可以转化为一个完全背包问题的变种。具体思路是：

1. 对原始货币面值进行排序
2. 从小到大检查每个面值是否能被比它小的面值组合表示
3. 如果不能被表示，则必须保留该面值；否则可以去除

这个思路的正确性基于以下观察：

• 大面值的货币如果能由小面值的组合表示，那么它对于系统的表示能力没有贡献
• 我们需要保留的是那些"基础"面值，它们不能被其他面值组合表示

3. 代码实现与详细解析

3.1 基础实现代码

cpp复制#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXN = 105;
const int MAXA = 25005;

int a[MAXN];
bool dp[MAXA];

int solve(int n) {
    sort(a, a + n);
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[0] = true;
    
    int res = 0;