二叉树打家劫舍问题的动态规划解法

1. 问题分析与解题思路

这道题目描述了一个小偷在二叉树结构的房屋群中行窃的场景。每个节点代表一个房屋，节点值代表该房屋的财物价值。小偷需要遵守一个规则：不能同时偷窃直接相连的两个房屋（即父子节点不能同时被偷），否则会触发警报。

从算法角度看，这是一个典型的树形动态规划问题。我们需要在二叉树结构上计算最优解，同时满足特定约束条件。与线性结构的打家劫舍问题不同，树形结构增加了问题的复杂度，因为每个节点的决策会影响其子节点和父节点的选择。

1.1 动态规划状态定义

对于树中的每个节点，我们定义两种状态：

• 偷当前节点时的最大收益（robNow）
• 不偷当前节点时的最大收益（notRobNow）

这两种状态将作为我们动态规划的基础。通过后序遍历（左右根）的方式，我们可以自底向上地计算每个节点的这两种状态值。

1.2 状态转移方程

对于任意节点，其状态转移遵循以下规则：

1. 如果偷当前节点，则不能偷其直接子节点：
   robNow = node.val + left[1] + right[1]
   （其中left[1]和right[1]分别表示不偷左右子节点时的最大收益）

2. 如果不偷当前节点，则可以自由选择是否偷子节点（取最优解）：
   notRobNow = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1])

最终，根节点的最大收益就是max(robNow, notRobNow)。

2. 代码实现与解析

2.1 递归解法

java复制class Solution {
    public int rob(TreeNode root) {
        int[] res = robTree(root);
        return Math.max(res[0], res[1]);
    }
    
    private int[] robTree(TreeNode node) {
        if (node == null) {
            return new int[]{0, 0};
        }
        
        int[] left = robTree(node.left);