5分钟掌握Manacher算法：从暴力匹配到高效回文检测

回文串检测是算法竞赛和面试中的经典问题，但很多人在面对这个问题时，第一反应往往是暴力匹配法。这种方法的直观性确实让人容易理解，但当字符串长度达到10^5级别时，O(n²)的时间复杂度会让程序变得异常缓慢。今天我们要介绍的Manacher算法（又称马拉车算法），能在O(n)时间内解决这个问题，而且代码实现出奇地简洁。

1. 为什么需要Manacher算法？

假设给你一个字符串"abacabacabb"，要求找出其中最长的回文子串。最直接的方法是枚举所有可能的子串并检查是否为回文：

python复制def is_palindrome(s):
    return s == s[::-1]

def longest_palindrome_naive(s):
    max_len = 0
    result = ""
    for i in range(len(s)):
        for j in range(i, len(s)):
            substring = s[i:j+1]
            if is_palindrome(substring) and len(substring) > max_len:
                max_len = len(substring)
                result = substring
    return result

这种方法虽然正确，但时间复杂度高达O(n³)。稍微优化一下，使用中心扩展法可以将复杂度降到O(n²)：

python复制def expand_around_center(s, left, right):
    while left >= 0 and right < len(s) and s[left] == s[right]:
        left -= 1
        right += 1
    return right - left - 1

def longest_palindrome_center(s):
    start = end = 0
    for i in range(len(s)):
        len1 = expand_around_center(s, i, i)  # 奇数长度
        len2 = expand_around_center(s, i, i+1) # 偶数长度
        max_len = max(len1, len2)
        if max_len > end - start:
            start = i - (max_len - 1) // 2
            end = i + max_len // 2
    return s