动态规划入门：斐波那契到最小花费爬楼梯实战

1. 动态规划入门三部曲：从斐波那契到最小花费爬楼梯

最近在算法训练中重新认识了动态规划（DP）这个老朋友。很多人觉得DP高深莫测，但通过这三道经典题目——斐波那契数、爬楼梯和最小花费爬楼梯，我发现DP的核心思想其实非常直观。下面就用工程师的视角，拆解这三道题背后的通用解题框架和实现细节。

2. DP五步法实战解析

2.1 斐波那契数列：DP的Hello World

斐波那契数列（LeetCode 509）是理解递归和动态规划的最佳入门案例。定义很简单：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)。但用DP实现时有几个关键点：

1. DP数组定义：dp[i]表示第i个斐波那契数
2. 递推公式：直接对应定义dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
3. 初始化：dp[0]=0, dp[1]=1必须显式初始化
4. 遍历顺序：从i=2开始正向遍历，因为每个数依赖前两个数
5. 空间优化：实际上只需要维护前两个状态，可将空间复杂度从O(n)降到O(1)

注意：C++中可变长度数组（VLA）不是标准特性，建议使用vector替代

cpp复制int fib(int n) {
    if(n <= 1) return n;
    vector<int> dp(n+1);
    dp[0] = 0; dp[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i) 
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
    return dp[n];
}

2.2 爬楼梯问题：斐波那契的变形

爬楼梯（LeetCode 70）看似与斐波那契无关，但分析后会发现它们共享相同的递推结构：

• 到第n阶的方法数 = 到第n-1阶的方法数（最后迈1步） + 到第n-2阶的方法数（最后迈2步）
• 边界条件：dp[1]=1（1阶只有1种方法），dp[2]=2（2阶可以1+1或直接2）

cpp复制int climbStairs(int n) {
    if(n <= 2) return n;
    vector<int> dp(n+1);
    dp[1] = 1; dp[2] = 2;
    for(