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动态规划与贪心算法解决最长上升子序列问题

糖浆Syrup·2026-08-28·阅读 22 GEO检测（免费）
最长上升子序列动态规划贪心算法
|难度：普通|阅读约 11 分钟

1. 最长上升子序列问题的经典解法

最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS）问题是动态规划领域的经典案例。给定一个无序的整数序列，我们需要找到其中最长的严格递增子序列的长度。例如对于序列[10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]，最长上升子序列是[2, 3, 7, 101]，长度为4。

1.1 基本动态规划解法

最直观的解法是使用O(n²)时间复杂度的动态规划：

  1. 定义dp数组，dp[i]表示以第i个数字结尾的最长上升子序列长度
  2. 初始化dp数组所有值为1，因为每个元素本身就是一个长度为1的子序列
  3. 对于每个i从1到n-1，遍历j从0到i-1：
    • 如果nums[j] < nums[i]，则dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
  4. 最终结果是dp数组中的最大值
python复制def lengthOfLIS(nums):
    if not nums:
        return 0
    dp = [1] * len(nums)
    for i in range(1, len(nums)):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

1.2 优化解法：二分查找+贪心

更高效的O(nlogn)解法结合了贪心算法和二分查找：

  1. 维护一个tails数组，其中tails[i]表示长度为i+1的所有上升子序列的最小末尾元素
  2. 遍历nums中的每个数x：
    • 如果x大于tails中所有元素，则将其追加到tails末尾
    • 否则，用x替换tails中第一个大于等于x的元素
  3. 最终tails的长度就是LIS的长度
python复制import bisect

def lengthOfLIS(nums):
    tails = []
    for num in nums:
        idx = bisect.bisect_left(tails, num)
        if idx == len(tails):
            tails.append(num)
        else:
            tails[idx] = num
    return len(tails)

提示：二分查找解法虽然时间复杂度更优，但只能得到LIS的长度，无法直接得到具体的子序列。如果需要具体序列，还需要额外的处理步骤。

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2. 最长上升子序列的常见变种

2.1 非严格递增版本

当题目允许子序列中相邻元素相等时，只需将比较条件从<改为<=即可：

python复制def lengthOfNonStrictLIS(nums):
    if not nums:
        return 0
    dp = [1] * len(nums)
    for i in range(1, len(nums)):
        for j in range(i):
            if nums[j] <= nums[i]:  # 仅修改了这一行
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

2.2 二维LIS问题

当元素是二维结构（如信封的宽度和高度）时，通常需要先对一维排序，再在另一维上求LIS：

python复制def maxEnvelopes(envelopes):
    # 按宽度升序，同宽度按高度降序排列
    envelopes.sort(key=lambda x: (x[0], -x[1]))
    # 在高度上求LIS
    heights = [e[1] for e in envelopes]
    return lengthOfLIS(heights)

2.3 带权值的LIS

每个元素有对应的权值，要求权值和最大的上升子序列：

python复制def maxWeightLIS(nums, weights):
    n = len(nums)
    dp = weights.copy()  # dp[i]表示以i结尾的最大权值和
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + weights[i])
    return max(dp)

3. 动态规划与贪心算法的选择

3.1 何时使用动态规划

动态规划适用于：

  1. 需要知道具体子序列而不仅仅是长度
  2. 问题有变种需求（如带权值）
  3. 输入规模较小（n ≤ 1000）

3.2 何时使用贪心+二分

贪心+二分适用于：

  1. 只需要知道子序列长度
  2. 输入规模较大（n ≥ 10^4）
  3. 对时间复杂度要求严格

注意：贪心解法虽然高效，但理解起来比动态规划更困难。建议先掌握动态规划解法，再学习贪心优化。

4. 实际应用中的常见陷阱

4.1 初始化错误

新手常犯的错误是忘记初始化dp数组，或者错误地初始化为0：

python复制# 错误示例
dp = [0] * len(nums)  # 这样会导致结果比实际小1

4.2 边界条件处理

空数组和单元素数组需要特殊处理：

python复制if not nums:
    return 0
if len(nums) == 1:
    return 1

4.3 序列相等时的处理

在非严格递增版本中，相等的元素是否视为"上升"需要明确：

python复制# 严格递增
if nums[j] < nums[i]
# 非严格递增
if nums[j] <= nums[i]

5. 性能优化技巧

5.1 提前终止

当剩余元素数量不足以超过当前最大长度时，可以提前终止：

python复制max_len = 1
for i in range(1, len(nums)):
    if len(nums) - i + max_len <= result:
        break
    # 正常处理...

5.2 空间优化

对于动态规划解法，可以只维护一个一维数组：

python复制dp = [1] * n  # 只需要O(n)空间

5.3 并行计算

对于大规模数据，可以将内层循环并行化：

python复制from concurrent.futures import ThreadPoolExecutor

def process_j(args):
    j, i, nums, dp = args
    if nums[j] < nums[i]:
        dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

with ThreadPoolExecutor() as executor:
    for i in range(1, len(nums)):
        executor.map(process_j, [(j, i, nums, dp) for j in range(i)])

6. 与其他动态规划问题的关联

6.1 与最长公共子序列(LCS)的关系

LIS可以转化为LCS问题：将原序列排序去重后，求与原序列的LCS。

6.2 与背包问题的关系

带权值的LIS问题可以看作是一种特殊的背包问题，其中"容量"是序列的顺序约束。

6.3 与编辑距离的关系

两者都体现了动态规划中"状态转移"的思想，但状态定义和转移方程不同。

7. 实战案例分析

7.1 LeetCode 300. 最长上升子序列

这是最基础的LIS问题，可以直接套用标准解法：

python复制class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        tails = []
        for num in nums:
            idx = bisect.bisect_left(tails, num)
            if idx == len(tails):
                tails.append(num)
            else:
                tails[idx] = num
        return len(tails)

7.2 LeetCode 354. 俄罗斯套娃信封问题

这是二维LIS的典型应用：

python复制class Solution:
    def maxEnvelopes(self, envelopes: List[List[int]]) -> int:
        envelopes.sort(key=lambda x: (x[0], -x[1]))
        heights = [e[1] for e in envelopes]
        return self.lengthOfLIS(heights)
    
    def lengthOfLIS(self, nums):
        tails = []
        for num in nums:
            idx = bisect.bisect_left(tails, num)
            if idx == len(tails):
                tails.append(num)
            else:
                tails[idx] = num
        return len(tails)

7.3 自定义变种：带删除成本的最长上升子序列

假设删除元素有成本，求在预算内能得到的最长上升子序列：

python复制def maxLISWithCost(nums, costs, budget):
    n = len(nums)
    # dp[i][j]表示前i个元素，花费j预算能得到的最长LIS
    dp = [[0]*(budget+1) for _ in range(n+1)]
    
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(budget+1):
            # 不选第i个元素
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            # 选第i个元素
            if j >= costs[i-1]:
                max_prev = 0
                for k in range(i-1):
                    if nums[k] < nums[i-1]:
                        max_prev = max(max_prev, dp[k][j-costs[i-1]])
                dp[i][j] = max(dp[i][j], max_prev + 1)
    
    return max(max(row) for row in dp)

8. 进阶思考与扩展

8.1 如何输出所有最长上升子序列

不仅要求长度，还要输出所有可能的LIS：

python复制def allLIS(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1]*n
    prev = [[] for _ in range(n)]
    max_len = 1
    
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                if dp[j]+1 > dp[i]:
                    dp[i] = dp[j]+1
                    prev[i] = [j]
                elif dp[j]+1 == dp[i]:
                    prev[i].append(j)
        max_len = max(max_len, dp[i])
    
    # 回溯所有路径
    result = []
    for i in range(n):
        if dp[i] == max_len:
            result.extend(backtrack(i, prev, nums))
    
    return result

def backtrack(i, prev, nums):
    if not prev[i]:
        return [[nums[i]]]
    res = []
    for p in prev[i]:
        for seq in backtrack(p, prev, nums):
            res.append(seq + [nums[i]])
    return res

8.2 如何求最长上升子序列的数量

计算有多少个不同的LIS：

python复制def numberOfLIS(nums):
    n = len(nums)
    length = [1]*n  # length[i]：以nums[i]结尾的LIS长度
    count = [1]*n    # count[i]：以nums[i]结尾的LIS数量
    
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                if length[j]+1 > length[i]:
                    length[i] = length[j]+1
                    count[i] = count[j]
                elif length[j]+1 == length[i]:
                    count[i] += count[j]
    
    max_len = max(length) if length else 0
    return sum(c for l, c in zip(length, count) if l == max_len)

8.3 如何求字典序最小的最长上升子序列

当有多个LIS时，返回字典序最小的那个：

python复制def minLexicographicalLIS(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1]*n
    prev = [-1]*n
    
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i] and dp[j]+1 > dp[i]:
                dp[i] = dp[j]+1
                prev[i] = j
    
    max_len = max(dp)
    # 找到所有可能的终点
    candidates = [i for i in range(n) if dp[i] == max_len]
    # 选择字典序最小的终点
    min_idx = min(candidates, key=lambda x: nums[x])
    
    # 回溯重建序列
    res = []
    while min_idx != -1:
        res.append(nums[min_idx])
        min_idx = prev[min_idx]
    return res[::-1]

9. 实际工程中的应用场景

9.1 版本控制系统

在Git等版本控制系统中，LIS算法可用于确定文件修改历史中最长的连续演进路径。

9.2 股票分析

分析股价历史数据时，LIS可以帮助识别最长的连续上涨周期。

9.3 生物信息学

在DNA序列比对中，寻找最长共同子序列是基因组分析的基础操作之一。

9.4 推荐系统

根据用户行为序列，使用LIS变种可以识别用户兴趣的长期演变趋势。

10. 个人实战经验分享

在实际编码面试和算法竞赛中，LIS问题有几个常见陷阱值得注意：

  1. 边界条件：空数组和全递减数组是常见的边界情况，务必测试这些case。

  2. 空间优化：虽然O(n²)的DP解法直观，但在处理大规模数据时，务必考虑使用O(nlogn)的优化解法。

  3. 变种识别：很多问题表面上看不是LIS，但经过适当转换后可以归约为LIS问题，如俄罗斯套娃信封问题。

  4. 输出要求：明确题目是要求长度、具体序列、序列数量还是字典序最小的序列，不同要求解法差异很大。

  5. 性能调优：在竞赛中，对于n=10^5规模的数据，O(n²)的解法肯定会超时，必须使用贪心+二分的优化版本。

我在实际工作中还发现，LIS思想可以灵活应用到许多看似无关的问题上。例如在分析用户行为序列时，可以用LIS变种来识别核心行为路径；在处理时间序列数据时，可以用LIS来识别主要趋势。掌握LIS问题的本质和变种，对提升算法能力大有裨益。

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本地生活服务类应用的技术架构设计需要兼顾性能与成本效益。混合云部署通过结合公有云弹性与私有云可控性，可显著降低IT支出，其中Redis缓存层是解决跨机房延迟的关键组件。在推荐系统领域，融合ItemCF、实时计算和冷启动策略的混合推荐模型，能有效提升CTR和用户停留时长。以黑马点评项目为例，通过商户详情页的WebP图片优化、结构化数据Schema设计，以及游戏化用户成长体系，实现了DAU提升47%的显著效果。这些技术方案对电商、O2O等需要处理高并发访问和海量UGC内容的平台具有普适参考价值。
Python安全计算器开发：从基础运算到表达式解析
Python计算器开发 · 表达式解析 · 安全计算
表达式解析是计算机科学中的基础技术，通过词法分析和语法分析将数学表达式转换为可执行的运算指令。Python凭借其简洁语法和丰富标准库，成为实现计算器逻辑的理想选择。在工程实践中，eval()函数虽然便捷但存在严重安全风险，合理的解决方案是构建基于正则表达式和Shunting-yard算法的解析器。这种技术方案不仅能正确处理运算符优先级，还能有效防范代码注入攻击。计算器开发涉及的核心技术包括链式调用设计、逆波兰表示法转换以及Tkinter GUI开发，这些技能在自动化测试工具、科学计算应用等场景都有广泛用途。通过实现带历史记录和科学计算功能的增强版计算器，开发者可以深入理解Python面向对象编程和模块化设计思想。
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低代码与云服务如何实现15分钟快速开发
低代码开发平台和云服务API正重塑软件开发流程，使快速应用构建成为可能。通过可视化组件拖拽和标准化API调用，开发者能跳过传统编码环节，直接组合现有服务模块。这种技术范式大幅降低了开发门槛，特别适合MVP验证、营销页面等时效性强的场景。以电商促销页面为例，结合Next.js组件库和Supabase后端服务，可在15分钟内完成从搭建到部署的全流程。关键要掌握现成工具链的选型技巧，并注意云服务的配置细节，如Supabase的行级安全设置。
SpringBoot美食分享系统开发实践与架构设计
SpringBoot作为Java领域主流的开发框架，通过自动配置和起步依赖显著提升了开发效率。在Web应用开发中，结合MyBatis等持久层框架可以快速构建数据驱动的业务系统。本文以河南美食文化平台为例，详细解析了基于SpringBoot+MyBatis的技术架构设计，包括多级缓存实现、文件存储方案选型等工程实践。系统特别关注UGC内容质量与非遗文化展示，采用MinIO对象存储和智能推荐算法等技术方案。对于中小型项目，这种单体架构在开发效率与系统性能之间取得了良好平衡，同时为可能的微服务改造预留了扩展空间。
InnoDB可重复读隔离级别原理与幻读解决方案
事务隔离级别是数据库保证数据一致性的关键技术，其中可重复读(Repeatable Read)通过MVCC机制实现事务内数据快照的稳定性。MVCC利用隐藏的事务ID字段和ReadView结构，确保同一事务多次读取数据的一致性。然而在InnoDB引擎中，这种隔离级别仍存在幻读问题，即其他事务可能插入符合当前事务查询条件的新数据。为解决这一问题，InnoDB提供了当前读机制（如SELECT FOR UPDATE）和间隙锁技术，通过锁定索引记录及间隙来防止幻读。在实际业务场景中，需要根据读写比例和事务特性，在RR与RC隔离级别间做出合理选择，并通过索引优化、锁监控等手段提升系统性能。
小红书冷启动3个月10万粉的运营方法论
社交媒体运营中的冷启动策略是品牌快速建立影响力的关键。通过平台算法解构和用户行为分析，运营者可以精准定位流量入口，实现高效增长。以小红书为例，其推荐机制主要考量互动率、完播率和账号垂直度三大指标。掌握这些核心算法原理后，运营团队能够设计出高转化内容模板和精准投放策略。在职场干货、情感故事等垂直领域，通过标题优化、视觉锤设计和结构化内容生产，可实现短期内粉丝量级突破。本文揭示的'养号五步法'和'爆款流水线'等方法论，特别适合需要快速验证市场的品牌，其中评论区运营和跨平台导流等技巧具有普适参考价值。
Spring依赖注入：构造方法、Setter与字段注入的深度解析
依赖注入（Dependency Injection，DI）是现代Java开发中的核心技术，通过控制反转（IoC）实现组件间的松耦合。其核心原理是将依赖对象的创建与使用分离，由容器负责管理对象生命周期和依赖关系。在Spring框架中，依赖注入主要体现为构造方法注入、Setter方法注入和字段注入三种方式，每种方式各有其适用场景和技术特点。构造方法注入作为官方推荐方案，提供了不可变性和明确的依赖契约，特别适合核心业务组件；Setter注入在处理可选依赖和动态配置时展现灵活性；而字段注入虽然编码简洁，但存在测试困难和隐藏依赖等问题。合理运用这些注入方式，可以显著提升代码的可测试性、可维护性和线程安全性，是构建健壮企业级应用的重要实践。
Java外观模式：简化复杂系统的如来神掌
外观模式是软件工程中常用的结构型设计模式，通过为复杂子系统提供统一接口来降低系统复杂度。其核心原理是引入一个中间层，封装多个子系统的交互细节，使客户端只需与高层接口交互。这种模式在Java开发中具有重要价值，能显著降低模块间耦合度，提高代码可维护性。典型应用场景包括电商系统订单处理、微服务API网关、遗留系统改造等。通过《西游记》中如来降伏孙悟空的生动类比，本文深入解析了外观模式如何像如来神掌般简化复杂系统，特别是在Java支付系统、库存管理等实际工程中的最佳实践。
Linux读写锁原理与应用实践
读写锁是多线程编程中的关键同步机制，通过区分读操作和写操作实现高效并发控制。其核心原理是允许多个线程并发读取共享资源，而写操作则要求独占访问，这种设计特别适合读多写少的场景。在Linux系统中，读写锁经历了从rwlock_t到rw_semaphore的持续优化，通过原子操作和智能调度策略平衡读写性能。典型应用包括配置管理、缓存系统和数据库索引等场景。理解读写锁的实现机制和适用场景，能够帮助开发者编写更高性能的并发程序，避免常见的锁竞争和死锁问题。
Python列表remove()方法详解与性能优化
列表是Python中最基础的数据结构之一，其remove()方法通过值匹配实现元素删除，体现了Python简洁直观的设计哲学。该方法采用线性搜索算法，时间复杂度为O(n)，适合中小规模数据操作。在数据处理、游戏开发等场景中，remove()常用于动态维护列表内容。理解其底层通过内存移动实现的原理后，可以更好地处理迭代修改、线程安全等边界情况。对于大规模数据，建议采用集合过滤或numpy向量化操作来替代多次remove()调用，以避免O(n²)的性能陷阱。合理运用类型注解和防御性编程技巧，能够构建更健壮的列表操作逻辑。
数字化维修管理系统：IoT与AI驱动的预测性维护实践
预测性维护作为工业物联网(IIoT)的核心应用场景，通过传感器数据采集和机器学习算法实现设备健康状态的实时监控与故障预警。其技术原理在于利用振动、温度等多维传感数据，结合时序分析算法(如LSTM、1D-CNN)构建设备退化模型，相比传统定期维护可提升30%以上的资源利用率。在工程实践中，数字化维修管理系统采用边缘计算+云平台的混合架构，其中边缘层完成信号特征提取(如Teager-Kaiser能量算子)，平台层实现基于微服务的预测分析。该技术已成功应用于轴承制造、汽车产线等场景，某案例显示其帮助客户降低72%意外停机。随着数字孪生技术的成熟，系统还能通过AR辅助维修等功能实现人员技能升级，形成完整的设备健康管理闭环。
Mapbox线要素交互编辑实现与优化
地图开发中的要素交互是GIS系统的核心功能，其实现原理基于空间索引和事件冒泡机制。在WebGIS领域，Mapbox GL JS通过矢量切片和WebGL渲染技术，为开发者提供了高性能的地图交互基础。针对线要素编辑这一典型场景，需要综合运用queryRenderedFeatures API、图层状态管理和视觉反馈设计等技术手段。从工程实践角度看，优化命中检测算法和渲染性能是关键，特别是在移动端设备上需要考虑手势冲突和计算资源限制。这些技术在物流轨迹修正、户外运动路线编辑等场景中有广泛应用，其中缓冲区检测和动态线宽调整是提升用户体验的常用方案。
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