动态规划与贪心算法解决最长上升子序列问题

1. 最长上升子序列问题的经典解法

最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS）问题是动态规划领域的经典案例。给定一个无序的整数序列，我们需要找到其中最长的严格递增子序列的长度。例如对于序列[10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]，最长上升子序列是[2, 3, 7, 101]，长度为4。

1.1 基本动态规划解法

最直观的解法是使用O(n²)时间复杂度的动态规划：

1. 定义dp数组，dp[i]表示以第i个数字结尾的最长上升子序列长度
2. 初始化dp数组所有值为1，因为每个元素本身就是一个长度为1的子序列
3. 对于每个i从1到n-1，遍历j从0到i-1：
   • 如果nums[j] < nums[i]，则dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
4. 最终结果是dp数组中的最大值

python复制def lengthOfLIS(nums):
    if not nums:
        return 0
    dp = [1] * len(nums)
    for i in range(1, len(nums)):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

1.2 优化解法：二分查找+贪心

更高效的O(nlogn)解法结合了贪心算法和二分查找：

1. 维护一个tails数组，其中tails[i]表示长度为i+1的所有上升子序列的最小末尾元素
2. 遍历nums中的每个数x：
   • 如果x大于tails中所有元素，则将其追加到tails末尾
   • 否则，用x替换tails中第一个大于等于x的元素
3. 最终tails的长度就是LIS的长度

python复制import bisect

def lengthOfLIS(nums):
    tails = []
    for num in nums:
        idx = bisect.bisect_left(tails, num)
        if idx == len(tails):
            tails.append(num)
        else:
            tails[idx] = num
    return len(tails)

提示：二分查找解法虽然时间复杂度更优，但只能得到LIS的长度，无法直接得到具体的子序列。如果需要具体序列，还需要额外的处理步骤。

2. 最长上升子序列的常见变种

2.1 非严格递增版本

当题目允许子序列中相邻元素相等时，只需将比较条件从<改为<=即可：

python复制def lengthOfNonStrictLIS(nums):
    if not nums:
        return 0
    dp = [1] * len(nums)
    for i in range(1, len(nums)):
        for j in range(i):
            if nums[j] <= nums[i]:  # 仅修改了这一行
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

2.2 二维LIS问题

当元素是二维结构（如信封的宽度和高度）时，通常需要