LeetCode 805题解：动态规划解决数组均值分割问题

1. 问题背景与核心挑战

今天遇到一道有趣的LeetCode题目（编号805），要求判断是否能把一个非空数组分成两个非空子集，使得两个子集的平均值相等。初看题目似乎简单，但深入思考后发现其中暗藏不少精妙之处。

这道题归类在"动态规划"和"数学"标签下，实际考察的是对问题本质的抽象能力。举个例子，给定数组[1,2,3,4,5,6,7,8]，我们可以分成[1,4,5,8]和[2,3,6,7]，两者的平均值都是4.5。但如果是[1,2,3,4]就无法满足条件。

2. 数学原理与问题转化

2.1 关键数学推导

问题的核心在于数学转化。设原数组总和为S，元素个数为n。若存在分割，设其中一个子集A有k个元素，和为S_A，则必须满足：

S_A/k = (S - S_A)/(n - k)

化简后得到：S_A = k*S/n

这意味着我们需要找到子集A，使得其元素个数k与总和S_A满足这个线性关系。这里就引出了第一个重要观察：k*S必须能被n整除，否则直接返回false。

2.2 可行性剪枝

基于上述推导，我们可以预先做快速判断：

1. 计算数组总和S
2. 遍历可能的k值（1到n/2）
3. 检查k*S是否能被n整除
   如果没有任何k满足条件，直接返回false。这一步可以过滤掉约50%的无效用例。

3. 动态规划解法实现

3.1 状态设计

采用动态规划来解决这个背包问题的变种。定义dp[i][j]表示使用前i个元素，能否选出j个元素使其和为j*S/n。最终答案就是存在某个k使得dp[n][k]为true。

由于n可能很大（题目限制30），直接二维DP会有空间问题。这里采用滚动数组优化，使用一维的HashSet来记录可能达到的(sum, count)组合。

3.2 算法步骤

1. 计算数组总和S和长度n
2. 检查是否存在k满足k*S%n == 0
3. 初始化DP集合，包含(0,0)
4. 遍历每个数字num：
   • 对于集合中每个(sum, count)，生成新的(sum+num, count+1)
   • 检查是否满足sum+num = (count+1)*S/n
5. 如果找到满足条件的组合则返回true

3.3 代码实现

java复制public boolean spli